Матрица а равна матрице в с обратным знаком

Линейная алгебра для чайников

Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу. количество строк, а только потом – количество столбцов. Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: . Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно. – единичной матрице, которая. Решение матриц, методы решения матриц, решение обратной матрицы, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих Определитель равен сумме произведений элементов строки Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса- Жордана. Метод.

Правило Саррюса при решении матриц. Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц. Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса. Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные. Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю и обратный получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы ходы.

Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных. Однако согласно теореме, определитель у них будет одинаковый. Миноры и алгебраические дополнения Что такое минор? Возьмём какой нибудь элемент квадратной матрицы, например, элемент A22 на рисункепозиция 1.

Если у матрицы убрать строку, на которой расположен этот элемент, а также столбец, на котором расположен этот элемент, мы получим матрицу меньшего размера. Определитель этой матрицы и называется минором элемента обозначается греческой буквой "мю". Обратите внимание, что минор элемента вычислить гораздо легче, чем определитель матрицы. Если матрица второго порядка рис. Введём ещё понятие - алгебраическое дополнение элемента.

Величина алгебраического дополнения зависит от суммы номеров столбца и строки, на которых расположен элемент. Если эта сумма чётная, алгебраическое дополнение равно минору элемента, если нечётная - то минору, взятому с отрицательным знаком. Обозначается алгебраическое дополнение греческой буквой "альфа".

Я же изложу его "простым" языком. Если матрицу транспонировать, алгебраические дополнения её элементов переместившихся на другие "места" останутся прежними.

2 Операции над матрицами и их свойства

На ней основан эффективный способ нахождения определителей. Эта теорема подтверждает следствие 1 теоремы 4.

Основные действия с матрицами и векторами в MathCAD 14 (20/34)

Две матрицы различаются только одной строкой, причём соответствующие элементы этой строки у матрицы C в два раза больше, чем у матрицы B. Если вычислить определители матриц через алгебраические дополнения этих строк, определитель матрицы C окажется в два раза больше матрицы B.

Общий множитель всех элементов строки матрицы можно вынести за знак определителя. Вычисление определителей Способы вычисления определителя матрицы первого, второго, третьего порядка, изложены выше.

Далее описаны два способа вычисления определителей высших порядков. На нём квадратная матрица четвёртого порядка. Нам надо эту матрицу привести к треугольному виду рис. Товарищ Белоусов описывал такие матрицы в примерах 4. Я надеюсь, что всем понятно, что такое матрица в треугольном виде. У неё все элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю. Сначала вспомним два правила.

Смотрим на первый столбец первоначальной матрицы. Если бы все его элементы были равны нулю, то всю последущую работу нам не нужно было бы проводить, потому что определитель матрицы с таким столбиком с одними нулями равен нулю.

Мы это с вами уже проходили. В нашей же матрице нам надо добиться, чтобы первый верхний элемент столбика не был равен нулю, а все остальные были равны нулю. Сначала делаем перестановку строк результат на рис. Я сделал перестановку строк два раза, а не один, чтобы знак определителя не изменился.

Далее нам надо добиться, чтобы вместо пятерки на нижней зелёной строке появился нуль. Напоминаю, смотрим позицию 3, первый столбец. Умножаем, прибавляем, и первый столбик приобретает нужный нам вид. Делаем это и получаем матрицу на рис 16, поз. Элементы первой строки в дальнейших преобразованиях уже не участвуют. Первый же столбик от дальнейших преобразований не изменится.

Вы в этом убедитесь. Далее преобразуем второй столбик. Если бы все его элементы, расположенные ниже первой строки, были равны нулю, то тогда и определитель был бы равен нулю. Объяснение для крутых математиков: Нам же придётся добиться, чтобы все элементы второго столбика, расположенные ниже главной диагонали, были равны нулю. Итакпозиция 4. Результат на позиции 5. Второй столбик принимает нужный нам вид рис.

Вторая строка в дальнейших преобразованиях не участвует, а второй столбик от них не изменится. Нам осталось добиться, чтобы нижний элемент третьего столбика был равен нулю. У меня получилось Сначала повторите теорему 5. В четвёртом столбике у неё имеется два нуля, что весьма кстати. Определитель можно вычислить через алгебраические дополнения элементов этого столбика. Чтобы уменьшить объём вычислений, сначала добъёмся, чтобы все элементы этого столбика, кроме одного, были равны нулю.

Сумма номеров столбца четвёртый и строки пятая является нечётной, поэтому определитель пятого порядка равен -2 определителя четвёртого порядка. Четвёртую строку прибавили ко второй. Сумма номеров третьей строки и второго столбика является нечётной, поэтому определитель пятого порядка равен 2 определителя третьего порядка. Делаем "разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки". В третьей строке два элемента не равны нулю, и нам придётся вычислить два определителя второго порядка.

В результате у меня получилось Посмотрите ещё примеры у Белоусова на стр. Матрица называется обратной к матрицеесли при умножении этих матриц получается единичная матрица того же порядка. Известно, что при умножении матрицы A на B может получиться другая матрица, чем при умножении B на A. Однако математики, в частности профессор Белоусов, доказали, что при умножении обратных матриц в результате получается одна и та же матрица, независимо от порядка их умножения.

Матрица, обратная к матрица A, обозначается так: Оно означает, что определитель матрицы равен нулю. А определил это её папа - полный нуль. А если не равен, то матрица является невырожденной. Математики доказали, что обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Как известно, определитель произведения матриц равен произведению их определителей. Из этого следует, что если хотя бы одна умножаемая матрица вырожденная, то и матрица - произведение вырожденная. Мы, однако, знаем, что определитель единичной матрицы равен единице разделстало. Чтобы найти обратную матрицу, можно проделать следущее: Если он равен нулю, матрица вырожденная, и обратной к ней матрицы не существует.

Однако есть более простые способы. Метод нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований строк. Она состоит из двух подматриц.

Слева - исходная, к ней мы будем находить обратную матрицу. Справа - единичная матрица. С ней мы будем проделывать ровно те же операции, что и с исходной матрицей, и в результате исходная матрица превратится в единичную, а единичная - в обратную к исходной. Операции будем проводить следущие: При этом остальные строки не меняются. При этом остальные строки не меняются Почему именно эти операции, и почему в результате получится обратная матрица?

Желающие докопаться до ответа на эти вопросы могут обратиться к работе Белоусова глава 7. Слева получаем единичную матрицу, справа - обратную к исходной В работе Белоусова имеется несколько примеров нахождения обратных матриц таким способом раздел 7.

Строки и столбцы, образующие единичную матрицу, также назовём единичными. Eсли бы единичные столбики находились в любом другом порядке, то, переставляя их, можно добиться, чтобы все единички расположились на главной диагонали. Нам дана матрица А рис. Будем преобразовывать матрицу A в единичную и одновременно будем аналогично преобразовывать единичную матрицу Е средняя частьчтобы она превратилась в матрицу, обратную к A.

Будем пока рассматривать матрицы А и Е не как две разные матрицы, а как одну "расширенную" матрицу. Следует заметить, что в каждом столбце как и в каждой строке матрицы A хотя бы один элемент должен быть отличен от нуля, потому что если это не так, то матрица является вырожденной её определитель равен нулю, если забыли и, следовательно, обратная к ней матрица не существует. И если у нас в левой части в результате какого-то шага преобразований получится строчка или столбец с одними нулями, дальнейшую работу можно не проводить.

Для контроля вычислений введём третий, самый левый столбец. В нём в каждой строчке находится сумма элементов соответствующих строчек матриц А и Е. Зачем она нужна, об этом чуть позже. Возьмём какой-либо элемент матрицы А, отличный от нуля! Строку и столбец, на которых он расположен. Обратите внимание на рисунке, что разрешающая строка проходит через обе матрицы, через А и через Е. Будем превращать разрешающий столбец в единичный. Сначала превратим в единичку сам разрешающий элемент если он не равен единице.

Для этого разрешающую строчку разделим на Далее представим себе, что остальные элементы в разрешающем столбце мы преобразовали в нули известными нам способами.

  • Решение матриц.
  • Нахождение обратной матрицы

Тогда элементы матрицы А ,не лежащие на разрешающей строке и разрешающем столбце, вычисляются по формуле рис. Проведём воображаемый прямоугольник через вычисляемый элемент, разрешающий элемент, и соответствующие элементы на разрешающей строке и разрешающем столбце. Однако гораздо удобнее использовать для вычислений матрицу с преобразованной разрешающей строчкой рис.

Тогда сумму произведений элементов не надо делить на разрешающий элемент, поскольку он равен единице. После вычисления всех необходимых элементов в левой и средней части расширенной матрицы окончательно преобразуем разрешающий столбец в единичный - заменяем все элементы в нём, кроме разрешающего, на нули рис. Мы сделали один полный шаг преобразований.

Как найти обратную матрицу?

Сейчас мы можем проверить правильность своих вычислений. Подсчитываем сумму элементов в каждой строчке расширенной матрицы, записываем её в правый столбец. Если мы всё правильно подсчитали, новую сумму в каждой строчке можно получить из первоначальной по формуле рис. Далее преобразуем в единичный другой столбец матрицы А.

Находим в нём элемент, отличный от нуля, не находящийся на разрешающей строчкеделаем его разрешающим и проводим вышеописанные преобразования - превращаем его в единичный. И так делаем, пока все столбцы матрицы А не станут единичными. Затем, если нужно, переставляем столбцы и строки аналогично и у матрицы А и у матрицы Ечтобы единички расположились на главной диагонали матрицы А.

Тогда в средней части получим искомую обратную матрицу. Проработайте ещё примеры у Белоусова на стр. Кажется, тогда у нас получается два столбика, у которых все элементы, кроме лежащих на разрешающей строке, равны нулю, и эти два столбика являются пропорциональными, и, стало быть, определитель матрицы равен нулю, и обратная к ней матрица не существует. Это следует из того, что определитель единичной матрицы равен 1.

Вычеркивая из нашей матрицы произвольные строки и столбцы, можно получить квадратную подматрицу размером k. А если из первоначальной матрицы вычеркнуть другие столбики и строки, можно получить другую квадратную подматрицу, тоже размером k. На странице 77 Белоусов приводит формулу вычисления количества таких подматриц. Восклицательный знак в формуле означает факториал.

Определители этих подматриц называют минорами k порядка данной матрицы. Произвольный минор k порядка может быть равен или не равен нулю. Белоусов привёл доказательство, что если все миноры k порядка матрицы равны нулю, то равны нулю и все её миноры более высокого порядка.

Если матрица А не нулевая, то всегда можно указать натуральное число r, обладающее следующими свойствами: Матрица A имеет отличный от нуля минор r—го порядка.

Всякий минор матрицы A, имеющий порядок больше r если таковые вообще существуютравен нулю. Число r называется рангом матрицы A.

Иными словами, рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается как r A или rang A.

Например, ранг матрицы на рис. Как я это определил? Я знаю, что если в квадратной матрице имеется нулевая строка или столбец, её определитель равен нулю. Значит, минор матрицы, отличный от нуля, не должен иметь нулевой строки или столбца. Нулевой столбец я вычеркнул рис. Вычислил её определитель, то бишь минор 3 порядка. Определитель отличен от нуля. Стало быть, ранг матрицы навен 3. Из определения ранга матрицы следует, что: Ранг произвольной матрицы A не превосходит наименьший из ее размеров.

Если все элементы матрицы A равны нулю, то ранг такой матрицы равен нулю. Если A — невырожденная квадратная матрица n—го порядка, то ее ранг совпадает с порядком матрицы: Белоусов привёл доказательство, что ранг подматрицы не может превосходить ранг матрицы. Тот минор r—го порядка, который отличен от нуля, называется базисным минором матрицы A. Вы усекли, что такое базисный минор? Определитель наибольшей квадратной подматрицы, не равный нулю.

На рисунке 18 такой только на позиции 5. Ранг матрицы равен размеру такой подматрицы. Квадратные подматрицы на позициях 6, 7, 8 имеют нулевой столбец, следовательно их определители миноры равны нулю, и не являются базисными. Определители миноры подматриц на позициях 2 и 4 не равны нулю, но они тоже не являются базисными, потому что имеется квадратная подматрица большего размера, у которой определитель отличен от нуля.

Строки и столбцы, на пересечении которых располагается базисный минор, называются, соответственно, базисными строками и базисными столбцами. Все остальные строки и столбцы матрицы будем называть небазисными. Подчеркнем, что под базисной строкой матрицы понимается не ее фрагмент, входящий в базисный минор, а вся строка целиком.

Обратная матрица

Это же относится и к понятию базисного столбца. Вообще говоря, у матрицы A может оказаться несколько базисных миноров, но все они имеют один и тот же порядок r. Понятия базисных и небазисных строк или столбцов матрицы имеет смысл только по отношению к какому-либо конкретному базисному минору.

Белоусов привёл доказательство, что при нахождении базисных строк и столбцов матрицы и вычислении ее ранга строки и столбцы можно переставлять произвольным образом. Чтобы сложить две строки, складываем соотвествующие их элементы и получаем строку с элементами, равными сумме слагаемых элементов.

Чтобы умножить строку на число, умножаем каждый элемент на это число и получаем строку с произведениями.